Question

经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．
（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；
（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）根据古典概型概率计算公式利用排列组合知识能求出15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率．
（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P(B)=

5

15

=

1

3

，ξ可能取0，1，2，3．分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A，
则P(A)=

C 1 5 C 2 10

C 3 15

=

45

91

，
∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为

45

91

．…（4分）
（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P(B)=

5

15

=

1

3

，…（5分）
ξ可能取0，1，2，3．　　　　　　　　　　　　　　　　　…（6分）
则P(ξ=0)=

C

0 3

(1-

1

3

)3=

8

27

，
P(ξ=1)=

C

1 3

×

1

3

×(1-

1

3

)2=

4

9

，
P(ξ=2)=

C

2 3

×(

1

3

)2(1-

1

3

)=

2

9

，
P(ξ=3)=

C

3 3

(

1

3

)3=

1

27

．…（10分）
∴ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

…（12分）
∴Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1．…（13分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．