Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-x+alnx（其中a为常数）．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数 f（x）的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出a=-2时f（x）的导数，分别令它大于0，小于0，得到函数的增区间和减区间，注意定义域，从而得到函数的极值点，也是最值点；
（Ⅱ）求出f（x）的导数f'（x），通分并配方，对a进行讨论，分a≥

1

4

，0＜a＜

1

4

，a≤0三种情况，注意运用求根公式，并根据a的范围确定两根的大小，注意定义域为（0，+∞），分别求出增区间和减区间．

解答： 解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=-2时f(x)=

1

2

x2-x-2lnx，
f′(x)=x-1-

2

x

=

(x+1)(x-2)

x

，
由f'（x）＜0得0＜x＜2，由f'（x）＞0得x＞2，
∴f（x）在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增，
故当x=2时，f（x）取极小值即为最小值f（2）=-2ln2，f（x）无最大值；
（Ⅱ） f′(x)=x-1+

a

x

=

x2-x+a

x

=

(x- 1 2 )2+a- 1 4

x

，
当a≥

1

4

时，f'（x）≥0恒成立，即f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
当a＜

1

4

时，由f'（x）=0得x²-x+a=0
解得x1=

1- 1-4a

2

，x2=

1+ 1-4a

2

，
当0＜a＜

1

4

时，0＜x₁＜x₂，
由f'（x）＜0得

1- 1-4a

2

＜x＜

1+ 1-4a

2

，
∴f（x）在区间(

1- 1-4a

2

，

1+ 1-4a

2

)上单调递减，
在区间(0，

1- 1-4a

2

)和(

1+ 1-4a

2

，+∞)上单调递增；
当a≤0时，x₁≤0＜x₂，
由f'（x）＜0得0＜x＜

1+ 1-4a

2

即f（x）在区间(0，

1+ 1-4a

2

)上单调递减，
在区间(

1+ 1-4a

2

，+∞)上单调递增； 
综上，当a≥

1

4

时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜

1

4

时，f（x）在区间(

1- 1-4a

2

，

1+ 1-4a

2

)上单调递减，
在区间(0，

1- 1-4a

2

)和(

1+ 1-4a

2

，+∞)上单调递增；
当a≤0时，f（x）在区间(0，

1+ 1-4a

2

)上单调递减，
在区间(

1+ 1-4a

2

，+∞)上单调递增．

点评：本题考查导数在函数中的综合运用，注意运用开区间内唯一的极值点也是最值点，同时重点考查分类讨论的重要数学思想方法，以及求解二次不等式的运算能力，是一道中档题．