Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（

A

2

）=

1

2

，bc=6，求a的最小值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，根据正弦函数的对称性即可确定出对称轴方程；
（Ⅱ）由f（

A

2

）=

1

2

，根据第一问确定出的f（x）解析式，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将cosA，bc的值代入，利用基本不等式求出a的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
令2x-

π

6

=kπ+

π

2

，得到x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z），
则图象的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（

A

2

）=sin（A-

π

6

）=

1

2

，得到A-

π

6

=

π

6

或A-

π

6

=

5π

6

，
解得：A=

π

3

或A=π（舍去），
∵bc=6，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥bc=6，
当且仅当b=c时等号成立，
则a的最小值为

6

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的对称性，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．