Question

已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=

2

a

（a＞0），∠BAC=120°．若

AO

=α

AB

+β

AC

(α，β∈R)，则α+β的最小值为（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、

  3

• D、2

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：综合题,平面向量及应用

分析：先求出

AB

•

AC

=-2，再由

AO

=α

AB

+β

AC

(α，β∈R)，可得

AO • AB =α AB 2+β AB • AC AO • AC =α AB • AC +β AC 2

，求出α，β，再利用基本不等式，即可求出α+β的最小值．

解答： 解：∵AB=2a，AC=

2

a

（a＞0），∠BAC=120°，
∴

AB

•

AC

=-2，
∵

AO

=α

AB

+β

AC

(α，β∈R)，
∴

AO • AB =α AB 2+β AB • AC AO • AC =α AB • AC +β AC 2

，
∴

2a•a=α•4a2-2β 2 a • 1 a =-2α+ 4 α2 β

，
∴α=

2

3

+

1

3a2

，β=

2

3

+

a2

3

，
∴α+β=

4

3

+

1

3a2

+

a2

3

≥

4

3

+2

1 3a2 • a2 3

=2，
∴α+β的最小值为2．
故选：D．

点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的数量积，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．