Question

某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编写成如茎叶图（单位：cm）：

在这30株树苗中，树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．
（1）对于这30株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？
（2）若从所有“生长良好”中选3株，用X表示所选中的树苗中能出售的株树，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图,古典概型及其概率计算公式

专题：综合题,概率与统计

分析：（1）根据茎叶图，可知“生长良好”有12株，“非生长良好”的有18株，用分层抽样的方法，求出“生长良好”和“非生长良好”的株数，利用对立事件的概率，即可求出至少有一株“生长良好”的概率；
（2）由题设知X的可能取值分别为0，1，2，3，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和EX．

解答： 解：（1）根据茎叶图，可知“生长良好”有12株，“非生长良好”的有18株，
用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，“生长良好”的有2株，“非生长良好”的有3株．
∴至少有一株“生长良好”的概率是1-

C 2 3

C 2 5

=

7

10

；
（2）从所有“生长良好”中选3株，其中A种树苗有8株，B种树苗有4株，则X的可能取值分别为0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 8

C 3 12

=

14

55

；P（X=1）=

C 2 8 C 1 4

C 3 12

=

28

55

；P（X=2）=

C 1 8 C 2 4

C 3 12

=

12

55

；P（X=3）=

C 3 4

C 3 12

=

1

55

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	14 55	28 55	12 55	1 55

∴EX=0×

14

55

+1×

28

55

+2×

12

55

+3×

1

55

=1．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．