Question

在△ABC中，D为BC中点，若cos∠BAD=

2 5

5

，cos∠CAD=

3 10

10

，则

AC

AD

=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：由cos∠BAD与cos∠CAD的值求出sin∠BAD与sin∠CAD的值，利用两角和与差的余弦函数公式求出cos∠BAC的值，确定出∠BAC的度数，由D为BC的中点，利用等底同高的两个三角形面积相等得到三角形ABD与三角形ACD面积相等，利用三角形面积公式列出关系式，整理得到AC=

2

AB，在三角形ABC中，利用余弦定理列出关系式，整理得到AB=BC，即三角形ABC为等腰直角三角形，进而求出AC与AD的长，即可求出所求之比．

解答： 解：∵cos∠BAD=

2 5

5

，cos∠CAD=

3 10

10

，
∴sin∠BAD=

5

5

，sin∠CAD=

10

10

，
∴cos∠BAC=cos（∠BAD+∠CAD）=cos∠BADcos∠CAD-sin∠BADsin∠CAD=

2 5

5

×

3 10

10

-

5

5

×

10

10

=

2

2

，
∴∠BAC=45°，
由D为BC的中点，得到S_△ABD=S_△ACD，即

1

2

AB•ADsin∠BAD=

1

2

AC•ADsin∠CAD，
整理得：AC=

2

AB，
在△ABC中，利用余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC=AB²+2AB²-2AB²，即BC=AB，
∴△ABC为等腰直角三角形，即∠ABC=90°，
设AB=BC=2，则有BD=CD=1，AD=

5

，AC=2

2

，
则

AC

AD

=

2 2

5

=

2 10

5

，
故答案为：

2 10

5

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．