Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=16，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（Ⅰ）证明直线l恒过定点；
（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系；
（Ⅲ）当点M（x，y）在圆C上运动时，求

y

x+3

的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）把已知直线l的方程变形为m（2x+y-7）+x+y-4=0，可得直线l必过直线2x+y-7=0与直线x+y+4=0的交点，故联立两直线的方程组成方程组，求出方程组的解，得到交点坐标为（3，1），故不论m取什么实数，直线l恒过定点（3，1），得证．
（2）由A到圆心的距离d小于圆的半径，判断得到点A在圆内，则直线经过圆内的点，从而可判断直线与圆相交．
（3）令k=

y

x+3

，则y=kx+3k，转换成求过点（-3，0）与圆有交点的所有直线的斜率的范围，将直线代入圆的方程，利用△=0能求出结果．

解答： （1）证明：∵直线方程l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
可以改写为m（2x+y-7）+x+y-4=0
∴直线必经过直线2x+y-7=0和x+y-4=0的交点，
由方程组

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得x=3，y=1，
∴两直线的交点为A（3，1）．
故不论m取什么实数，直线l恒过定点（3，1）．
（2）解：∵圆C：（x-1）²+（y-2）²=16，
∴圆心C（1，2），半径r=4，
∵点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离为

(3-1)2+(1-2)2

=

5

＜4，
∴A点在C内，
∴直线与圆相交．
（3）解：∵圆C：（x-1）²+（y-2）²=16，
点M（x，y）在圆C上运动，
∴

x=1+4cosθ y=2+4sinθ

，0≤θ＜2π，
∴

y

x+3

=

2+4sinθ

4+4cosθ

令k=

y

x+3

，∴y=kx+3k，转换成求过点（-3，0）与圆有交点的所有直线的斜率的范围，
把y=kx+3k代入圆C：（x-1）²+（y-2）²=16，
得（x-1）²+（kx+3k-2）²=16，
整理，得（k²+1）x²+（6k²-4k-2）x+9k²-12k-11=0，
由△=（6k²-4k-2）²-4（k²+1）（9k²-12k-11）=0，
解得k=-

3

4

，
从而得到一条切线的斜率为-

3

4

，另一条切方程为x=-3，没有斜率，
∴

y

x+3

的取值范围是（-

3

4

，+∞）．

点评：本题考查证明直线l恒过定点的证明，考查直线l与圆C的位置关系的判断，考查

y

x+3

的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．