Question

在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁=-12，且a₈，₉，a₁₁依次成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的公差；
（Ⅱ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求S_n的最小值，并求出此时的n值．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a₁=-12，(a1+8d)2=(a1+7d)(a1+10d)，由此能求出数列{a_n}的公差d．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=-12n+n（n-1）=n²-13n=（n-

13

2

）²-

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4

，由此能求出S_n的最小值及此时的n值．

解答： 解：（Ⅰ）∵公差不为0的等差数列{a_n}中，
a₁=-12，且a₈，₉，a₁₁依次成等差数列，
∴(a1+8d)2=(a1+7d)(a1+10d)，
整理，得a₁=-6d，解得d=2．
∴数列{a_n}的公差d=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=-12n+n（n-1）=n²-13n，
∵n²-13n=（n-

13

2

）²-

169

4

，且n∈N₊，
∴当n=6或n=7时，
S_n取最小值S₆=S₇=-42．

点评：本题考查等差数列的公差的求法，考查S_n的最小值及此时的n值的求法，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．