Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求满足不等式

Tn-2

2n-1

≥128的最小n值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）运用等比数列的公式性质求解，
（2）运用求和公式列出来，再用错位相减的方法求出数列的和，最后解不等式确定n的范围，及最小值．

解答： 解：（1）因为S_n=2a_n-n，
所以Sn-1=2an-1-(n-1)，(n≥2，n∈N*)，
两式相减得a_n=2a_n-1+1，
所以an+1=2(an-1+1)，(n≥2，n∈N*)，
又因为a₁+1=2，所以{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以an+1=2n，所以an=2n-1．
（2）因为b_n=（2n+1）a_n+2n+1，
所以bn=(2n+1)•2n
可以得到：Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)•2n-1+(2n+1)•2n，①
2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1，②
①-②得：-Tn=3×2+2(22+23+ …+2n)-(2n+1)•2n+1
=6+2×

22-2n×2

1-2

-(2n+1)•2n+1
=-2+2ⁿ⁺²-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
所以Tn=2+(2n-1)•2n+1
若

Tn-2

2n-1

≥128，
则

2+(2n-1)•2n+1-2

2n-1

≥128，
即2^n+1，所以n+1≥7，解得n≥6，
所以满足不等式

Tn-2

2n-1

≥128，的最小n值6，

点评：本题考查了数列的概念公式，错位相减求和，综合不等式解决问题．