Question

已知函数f（x）=-

1

3

x3+4x-4．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-1，3]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f'（x）=-x²+4，由此利用导数性质能求出函数f（x）的极值．
（Ⅱ）求出f(-1)=-

23

3

，f(2)=

4

3

，f（3）=-1，由此能求出函数f（x）在区间[-1，3]上的最值．

解答： （本小题共14分）
解：（Ⅰ）由f（x）=-

1

3

x3+4x-4．
得f'（x）=-x²+4…3
令f'（x）=0解得x₁=-2，x₂=2
列表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-		+		-
f（x）	减	极小值	增	极大值	减

所以当x=-2时，函数f（x）有极小值-

28

3

；
当x=2时函数f（x）有极大值

4

3

．…9
（Ⅱ）因为f(-1)=-

23

3

，
f(2)=

4

3

f（3）=-1，
所以函数f（x）在区间[-1，3]上的最大值是

4

3

，最小值是-

23

3

．…14

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．