Question

设函数f（x）定义域为R，对于任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）令x=y=0，代入已知条件，即可求得结果；
（Ⅱ）令y=-x，代入已知条件由函数奇偶性的定义，即可判定函数的奇偶性．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x+y）=f（x）+f（y）对于任意x，y∈R都成立．
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）
解得f（0）=0；
（Ⅱ）函数f（x）是R上的奇函数．
证明：令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是R上的奇函数．

点评：本题考查抽象函数的有关问题，其中赋值法是常用的方法，考查函数的奇偶性的定义，属基础题．