Question

从下列题中选答1题，多选按所做的前1题记分）
（1）已知：a、b、c∈R，且a+b+c=1．求证：a²+b²+c²≥

1

3

．
（2）求证：

6

-

5

＞2

2

-

7

（3）已知a＞0，b＞0，且a+b＞2，求证：

1+b

a

，

1+a

b

中至少有一个小于2．

Answer 1

考点：不等式的证明,反证法与放缩法

专题：证明题,推理和证明

分析：（1）由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，三式相加可得a²+b²+c²≥ab+bc+ca，进一步利用基本不等式，结合a+b+c=1可证得结论；
（2）42＞40⇒13+2

42

＞13+2

40

⇒(

6

+

7

 )2＞(2

2

+

5

 )2，从而可证得结论；
（3）利用反证法，假设

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，则

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2，导出矛盾即可推翻假设，从而肯定原结论成立．

解答： （1）证明：由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca．
三式相加得a²+b²+c²≥ab+bc+ca．
∴3（a²+b²+c²）≥（a²+b²+c²）+2（ab+bc+ca）=（a+b+c）²．
由a+b+c=1，得3（a²+b²+c²）≥1，
即a²+b²+c²≥

1

3

．
（2）证明：因为42＞40，所以13+2

42

＞13+2

40

，即(

6

+

7

 )2＞(2

2

+

5

 )2，所以

6

+

7

 ＞2

2

+

5

，即

6

-

5

 ＞2

2

-

7

（3）证明：假设

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，则

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2．
因为a＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，
两式相加可得1+1+a+b≥2（a+b），即2≥a+b，
这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，
即

1+b

a

，

1+a

b

中至少有一个小于2．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查综合法、分析法与反证法的应用，考查推理论证能力，属于中档题．