Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，以OA，OB为邻边作一个平行四边形OAQB，记直线OQ与椭圆交于P点，且满足

|OQ|

|OP|

=λ（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的离心率为

2

2

，求出a，b的关系，结合以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切，求出a，b的值，即可得出结论；
（2）设AB：y=k（x-2），直线代入椭圆方程，利用韦达定理，确定Q的中点，进而可得P的坐标，代入椭圆方程，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意知椭圆的离心率为

2

2

，∴

a2-b2

a2

=

1

2

，即a²=2b²
又∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切
∴b=

2

1+1

=1，
∴a²=2，b²=1．
故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）由题意知直线AB的斜率存在．
设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
直线代入椭圆方程可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴k²＜

1

2

，
x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

．
∴AB的中点为（

4k2

1+2k2

，

-2k

1+2k2

），
∴Q（

8k2

1+2k2

，

-4k

1+2k2

），
∵

|OQ|

|OP|

=λ，
∴x=

1

λ

•

8k2

1+2k2

，y=

1

λ

•

-4k

1+2k2

，
代入椭圆方程可得λ=

4k

1+2k2

=

4

1 k +2k

，
∵k²＜

1

2

，
∴

1

k

+2k＞3或

1

k

+2k＜-3，
∴0＜

4

1 k +2k

＜

4

3

或-

4

3

＜

4

1 k +2k

＜0，
∴0＜λ＜

4

3

或-

4

3

＜λ＜0．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于难题．