Question

证明：（1）若函数y=f（x）是偶函数，则f（x+a）=f（-x-a）；
（2）若函数y=f（x+a）是偶函数，则f（x+a）=f（-x+a）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据偶函数的性质：f（-x）=f（x），令x取x+a代入即可得证；
（2）令g（x）=f（x+a），再由偶函数的性质：f（-x）=f（x），代入即可．

解答： 证明：（1）∵函数y=f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
令x取x+a，则-x取-（x+a），
∴f[-（x+a）]=f（x+a），
即f（x+a）=f（-x-a）；
（2）令g（x）=f（x+a），
∵函数y=g（x）=f（x+a）是偶函数，
∴g（-x）=g（x），
则f（x+a）=f（-x+a）．

点评：本题主要考查了偶函数的性质：f（-x）=f（x）的应用，注意自变量的取值，属于基础题．