题目内容
已知向量
=(cosα，sinα)，
=(1+cosβ，-sinβ)．
（Ⅰ）若α=
，β∈（0，π），且
⊥
，求β；
（Ⅱ）若β=α，求
•
的取值范围．
| a |
| b |
（Ⅰ）若α=
| π |
| 3 |
| a |
| b |
（Ⅱ）若β=α，求
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
专题：平面向量及应用
分析：（I）由
⊥
可得
•
=0，再解出三角函数方程即可；
（II）利用数量积运算可得
•
，再通过换元法利用二次函数的单调性即可得出．
| a |
| b |
| a |
| b |
（II）利用数量积运算可得
| a |
| b |
解答：
解：（Ⅰ）∵
⊥
，
∴
•
=cosα+cosαcosβ-sinαsinβ=0，
∵α=
，
∴cos
+cos
cosβ-sin
sinβ=0，
整理得cos(β+
)=-
．
∴β+
=
+2kπ，（k∈Z）．
∵β∈（0，π），取k=0可得β=
．
（Ⅱ）∵β=α，
∴
•
=cosα+cos2α-sin2α=cosα+2cos2α-1．
令t=cosα，t∈[-1，1]，
∴
•
=2t2+t-1=2(t+
)2-
．
∴当t=1时，
•
max=2，当t=-
时，
•
min=-
．
∴
•
的取值范围为[-
，2]．
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
∵α=
| π |
| 3 |
∴cos
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
整理得cos(β+
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴β+
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∵β∈（0，π），取k=0可得β=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）∵β=α，
∴
| a |
| b |
令t=cosα，t∈[-1，1]，
∴
| a |
| b |
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| 8 |
∴当t=1时，
| a |
| b |
| 1 |
| 4 |
| a |
| b |
| 9 |
| 8 |
∴
| a |
| b |
| 9 |
| 8 |
点评：本题考查了
⊥
?
•
=0、三角函数方程、数量积运算、换元法、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
| a |
| b |
| a |
| b |
练习册系列答案
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若不等式x2-2x+3-a＜0成立的一个充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围应为（ ）
| A、a≥11 | B、a＞11 |
| C、a＞9 | D、a≥9 |
如图，在正三棱台ABC-A1B1C1中，已知其上、下底面边长分别为3cm和6cm，AA1=3cm，求此三棱台的侧面积和体积．