Question

如图，椭圆C的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=

2

2

，又椭圆C上的任一点到椭圆C的两焦点的距离之和为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若平行于y轴的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q，过P、Q两点作圆心为M的圆，使椭圆C上的其余点均在圆M外．求△PQM的面积S的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据离心率e=

2

2

，又椭圆C上的任一点到椭圆C的两焦点的距离之和为8，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（2）设M（x₀，0），N（x，y）是椭圆上任意一点，由题意，P是椭圆上任意一点到M的距离最小的点，求出|PQ|=|2y₁|，表示出△PQM的面积S，即可求出S的最大值．

解答： 解：（1）设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），则
∵离心率e=

2

2

，又椭圆C上的任一点到椭圆C的两焦点的距离之和为8，
∴

2a=8 c a = 2 2

，
∴a=4，c=2

2

，
∴b=

a2-c2

=2

2

，
∴椭圆C的标准方程为

x2

16

+

y2

8

=1；
（2）设M（x₀，0），N（x，y）是椭圆上任意一点，则
|MN|²=（x-x₀）²+y²=

1

2

（x-2x₀）²+8-x₀²，x∈[-4，4]，
∴x=2x₀时，|MN|²取得最小值8-x₀²，
由题意，P是椭圆上任意一点到M的距离最小的点，
设P（x₁，y₁），则x=x₁时，|MN|²取得最小值，
∵x₁∈[-4，4]，∴x₁=2x₀．
由对称性知Q（x₁，-y₁），故|PQ|=|2y₁|，
∴S=

1

2

|2y₁||x₁-x₀|=

2

•

(4-x02)x02

=

2

•

-(x02-2)2+4

，
∴x₀=±

2

时，△PQM的面积S的最大值为2

2

．

点评：本题考查圆、椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，难度较大．