题目内容
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f（x）=
x3-
x2+3x-
，请你根据上面探究结果，计算f(
)+f(
)…+f(
)+f(
)= ．
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考点：导数的运算
专题：导数的综合应用
分析：求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，可得f（1-x）+f（x）=2，从而得到f(
)+f(
)…+f(
)+f(
)．
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解答：
解：由f（x）=
x3-
x2+3x-
，得f′（x）=x2-x+3，
∴f′′=2x-1，
由2x-1=0得x=
，
∴f(
)=1，
∴f（x）的对称中心为(
，1)，
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f(
)+f(
)=f(
)+f(
)=…=2f(
)=2，
∴f(
)+f(
)…+f(
)+f(
)=2013
故答案为：2013．
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∴f′′=2x-1，
由2x-1=0得x=
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∴f(
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∴f（x）的对称中心为(
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∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f(
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∴f(
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故答案为：2013．
点评：本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，是中档题．
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