Question

设等比数列{a_n}的首项a₁=256，前n项和为S_n，且S_n，S_n+2，S_n+1成等差数列．
（1）求{a_n}的公比q；
（2）用π_n表示{a_n}的前n项之积，即π_n=a₁•a₂…a_n，求π_n的最大值与最小值．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）解法一：根据等差中项的性质得2S_n+2=S_n+S_n+1，把S_n+1=S_n+a_n+1，S_n+2=S_n+1+a_n+2=S_n+a_n+1+a_n+2代入化简，即可求出公比q的值；
解法二：根据等比数列的前n项和公式，对q分类后分别代入2S_n+2=S_n+S_n+1，化简求出q的值；
（2）由（1）和等比数列的通项公式求出a_n，代入π_n利用指数的运算性质化简后，判断并求出π_n的最大值与最小值．

解答： 解：（1）解法一：因为S_n，S_n+2，S_n+1成等差数列，
所以2S_n+2=S_n+S_n+1，
把S_n+1=S_n+a_n+1，S_n+2=S_n+1+a_n+2=S_n+a_n+1+a_n+2代入得，
2（S_n+a_n+1+a_n+2）=S_n+（S_n+a_n+1），
化简得，a_n+2=-

1

2

a_n+1，
所以等比数列{a_n}的公比q=-

1

2

；…（6分）
解法二：由已知2S_n+2=S_n+S_n+1，
当q=1时，S_n+2=（n+2）a₁，S_n+1=（n+1）a₁，S_n=na₁，
则2（n+2）a₁=（n+1）a₁+na₁，
解得a₁=0与数列{a_n}为等比数列矛盾；…（2分）
当q≠1时，则2•

a1(1-qn+2)

1-q

=

a1(1-qn)

1-q

+

a1(1-qn+1)

1-q

，
化简得：2qⁿ⁺²=qⁿ+qⁿ⁺¹，
因为qⁿ≠0，所以2q²=1+q，解得q=-

1

2

…（6分）
（2）由（1）得，q=-

1

2

，且a₁=256=2⁸，则a_n=28•(-

1

2

)n-1=(-1)n-1(

1

2

)n-9，
所以π_n=a₁•a₂…a_n=（-1）^{-1+0+1+…（n-1）}•(

1

2

)(-8)+(-7)+…+(n-9)
=(-1)

n(n-2)

2

•(

1

2

)

n(n-17)

2

=(-1)

n2-n

2

(

1

2

)

n2-17n

2

，
则Π₈=Π₉＞0、Π₇=Π₁₀＜0，
所以Π_n的最大值是Π8=Π9=236，最小值是Π7=Π10=-235．…（12分）

点评：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式，等差中项的性质，以及指数的运算性质，考查化简计算能力，属于中档题．