Question

如果二次函数f（x）=ax²+bx+c对任意实数x都有f（2-x）=f（x）成立，且f（accsin

2

3

）＞f（arccos

3

4

），则a-2014b的符号是（　　）

• A、大于零
• B、小于零
• C、等于零
• D、不能确定

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：本题可以先利用f（2-x）=f（x）得到参数a、b的一个相等关系，再利用f（accsin

2

3

）＞f（arccos

3

4

）得到a、b的取值范围，然后研究a-2014b，得到值的正负，得到本题结论．

解答： 解：∵二次函数f（x）=ax²+bx+c对任意实数x都有f（2-x）=f（x）成立，
∴f（1+x）=f[2-（1+x）]=f（1-x），
∴函数图象的对称轴方程为x=1．
∴-

b

2a

=1，即b=-2a．
则有：a-2014b=a+4028a=4029a．
记accsin

2

3

=α，arcccos

3

4

=β，
则有sinα=

2

3

，cosβ=

3

4

，且α∈(0，

π

2

)，β∈(0，

π

2

)
∴sinβ=

7

4

．
∵

2

3

＞

7

4

，
∴α＞β，即accsin

2

3

＞arcccos

3

4

，
∵sin1≈0.8414，0.8414＞

2

3

，
∴1＞α＞β．
∵f（accsin

2

3

）＞f（arccos

3

4

），即f（α）＞f（β），
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴a＞0．
∴a-2014b=a+4028a=4029a＞0．
故选A．

点评：本题考查了二次函数的对称轴、单调性，反三角函数值的比较，本题难度适中，有一定的综合性，属于中档题．