Question

设函数f（x）=x²-2ax+3，
（1）若函数f（x）在区间[-2，3]是单调函数，求实数a的范围；
（2）求函数f（x）在区间[-2，3]的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）可以利用二次函数的单调区间与已知区间[-2，3]进行比较，得到参数a的取值范围，得到本题结论；（2）考虑二次函数f（x）对称轴与区间的位置关系，分类讨论研究二次函数f（x）在区间[-2，3]的最小值，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²-2ax+3的对称轴为x=a，
∴函数f（x）在区间（-∞，a]上单调递减；在区间[a，+∞）上单调递增．
∵函数f（x）在区间[-2，3]是单调函数，
∴a≥3或a≤-2．
（2）①当a＜-2时，
∵f（x）在区间[-2，3]是单调递增函数，
∴[f（x）]_min=f（-2）=4a+7；
②当-2≤a＜3时，
∵f（x）在区间[-2，a]是单调递减函数，
f（x）在区间[a，3]是单调递增函数，
∴[f（x）]_min=f（a）=3-a²；
③当a≥3时，
∵f（x）在区间[-2，3]是单调递减函数，
∴[f（x）]_min=f（3）=12-6a．
∴[f(x)]min=

4a+7，a＜-2 3-a2，-2≤a＜3 12-6a，a≥3

．

点评：本题考查了二次函数的单调性和最值，本题难度不大，属于基础题．