Question

已知函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

．
（1）求a，b；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）试判断函数在（-∞，0]上的单调性，并证明；
（4）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知得

2+2a+b= 5 2 22+22a+b= 17 4

，由此能求出a=-1，b=0．
（2）由（1）得f（x）=2^x+2^-x，由此能求出f（x）是偶函数．
（3）函数在（-∞，0]上单调递减，利用定义法能进行证明．
（4）由2^x＞0，2^-x＞0，利用均值不等式能求出函数f（x）取最小值2．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，
∴

2+2a+b= 5 2 22+22a+b= 17 4

，
即

a+b=-1 2a+b=-2

，
解得a=-1，b=0．
（2）由（1）得f（x）=2^x+2^-x，
∴f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（3）函数在（-∞，0]上单调递减，证明如下：
在（-∞，0]上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（2x1+2-x1）-（2x2-2-x2）
=(2x1-2x2)+(

1

2x1

-

1

2x2

)
=(2x1-2x2)+

2x2-2x1

2x12x2

=(2x1-2x2)(1-

1

2x12x2

)，
∵-∞＜x₁＜x₂≤0，
∴2x1-2x2＜0，1-

1

2x12x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数在（-∞，0]上单调递减．
（4）∵2^x＞0，2^-x＞0，
∴f（x）=2^x+2^-x≥2

2x•2-x

=2，
当且仅当2^x=2^-x，即x=0时，
函数f（x）取最小值2．

点评：本题考查实数值的求法，考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．