Question

如图所示，P为圆M：（x-3）²+y²=1的动点，Q为抛物线y²=x上的动点，试求|PQ|的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由对称性可得，|PQ|=|MQ|-|MP|=|MQ|-1，将|PQ|的最小问题，转化为|MQ|的最小问题即可．

解答： 解：由于圆M：（x-3）²+y²=1的圆心M（3，0），半径r=1，
则由对称性可得，|PQ|=|MQ|-|MP|=|MQ|-1，
由于Q在y²=x上，设Q的坐标为（y²，y），
∴|MQ|=

(y2-3)2+y2

=

(y2- 5 2 )2+ 11 4

≥

11 4

，
当y²=

5

2

时，等号成立．
由圆的半径为1，
所以|PQ|的最小值为

11

2

-1．

点评：本题重点考查圆与圆锥曲线的综合，考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，将|PQ|的最小问题，转化为|MQ|的最小问题是解题的关键．