Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=1+（

1

2

）^x
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的草图；
（3）利用图象直接写出函数f（x）的单调区间及值域．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）是定义在R上的奇函数得f（0）=0，当x＜0时则-x＜0，由f（x）=-f（-x）求出x＜0时的解析式，再用分段函数的形式表示出f（x）；
（2）根据解析式和指数函数的图象，画出该函数的草图；
（3）根据函数的图象求出f（x）的单调区间及值域．

解答： 解：（1）由题意得，当x=0时，f（0）=0，…（2分）
当x＜0时，则-x＜0，f（x）=-f（-x）=-（1+(

1

2

)-x）=-1-2^-x，
故f（x）的解析式为：f(x)=

1+( 1 2 )-x，x＞0 0，x=0 -1-2-x，x＜0

                          …（6分）
（2）函数草图如右；             …（10分）
（3）由图得，减区间为（-∞，0），（0，+∞）；值域为{y|-2＜y＜-1或y=0或1＜y＜2} …（12分）

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，指数函数的图象和图象的平移变换，考查了作图和识图能力．