Question

已知在矩形ABCD中，AB=2

2

，BC=a，PA⊥面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、2

  2

• D、4

  2

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：PA⊥平面ABCD，PQ⊥QD可得QD⊥AQ，可得△ABQ∽△QCD，可求a的范围，即可求出a的最小值．

解答： 解：假设在BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD，又由于PQ⊥QD，
所以QD⊥平面APQ，则QD⊥AQ，即∠AQD=90°，
易得△ABQ∽△QCD，设BQ=x，所以有x（a-x）=8
即：x²-ax+8=0
所以当△=a²-32≥0时，上方程有解，
因此，当a≥4

2

时，存在符合条件的点Q，
所以a的最小值是4

2

．
故选：D．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．