Question

如图，在四面体ABCD中，已知DA⊥面ABC，BC⊥面ABD，BC=BD=2，四面体的三个面DAB、DBC、DCA面积的平方和是8，则∠ADB=

 

．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：先证明DA⊥AB，DA⊥AC，BC⊥BD，BC⊥AB，再设AD=a，AB=b，则a²+b²=4，利用三个面DAB、DBC、DCA面积的平方和是8，BC=BD=2，建立方程，求出a，b，即可求出∠ADB．

解答： 解：∵DA⊥面ABC，
∴DA⊥AB，DA⊥AC，
∵BC⊥面ABD，
∴BC⊥BD，BC⊥AB，
设AD=a，AB=b，则a²+b²=4，
∵三个面DAB、DBC、DCA面积的平方和是8，BC=BD=2，
∴（

1

2

ab）²+（

1

2

×2×2）²+（

1

2

×a×

b2+4

）²=8，
∴a=b=

2

，
∴∠ADB=45°，
故答案为：45°．

点评：本题考查直线与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．