Question

设函数f（x）=x²-x+alnx，其中a≠0．
（1）若a=-6，求f（x）在[1，4]上的最值；
（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（3）求证：不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

（n∈N^*）恒成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=-6时，由f′（x）=0得x=2，可判断出当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，4]时，
f（x）单调递增，从而得到f（x）在[1，4]上的最值．
（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点，即使f′（x）=0在（0，+∞）有两个不等实根，即2x²-x+a=0在（0，+∞）有两不等实根，可以利用一元二次函数根的分布，即可求a的范围．
（3）先构造函数h（x）=x³-x²+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x²-x³，最后令x=

1

n

，即可证得结论．

解答： 解：（1）当a=-6时，f（x）=x²-x-6lnx（x＞0），
f′(x)=2x-1-

6

x

=

2x2-x-6

x

=

(x-2)(2x+3)

x

，
令f′(x)=0⇒x1=2，x2=-

3

2

（舍），
当1≤x＜2时，f′（x）0．
∴f（x）在[1，2]上为减函数，在[2，4]上为增函数．
∴f（x）_min=f（2）=2-6ln2，f（1）=0，f（4）=12-6ln4＞0．
∴f（x）_max=f（4）=12-6ln4=12（1-ln2）；
（2）f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，
即f′（x）=0在（0，+∞）有两不等根，
即2x²-x+a=0在（0，+∞）有两不等实根，
令g（x）=2x²-x+a，则

△=(-1)2-8a＞0 g(0)=a＞0

，解得0＜a＜

1

8

；
（3）令函数h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1）
则h′（x）=3x²-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

，
∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0
∴函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．
取x=

1

n

∈（0，+∞），则有ln（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．
即不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

（n∈N^*）恒成立．

点评：本题以函数为载体，考查函数的最值，考查函数的单调性．第一问判断f（x）在定义域的单调性即可求出最小值．第二问将f（x）在定义域内既有极大值又有极小值问题转化为f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点是解题的关键，第三问的关键是构造新函数，利用导数证明不等式，是压轴题．