Question

已知二次函数f（x）=ax²-bx满足：①f（2）=0，②关于x的方程f（x）=x有两个相等的实数根．求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在[0，3]上的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知，利用待定系数法求a，b；
（2）由（1）可知函数在[0，3]的单调性，然后求最值．

解答： 解：（1）由①得2a-b=0，
由②关于x的方程f（x）=x有两个相等的实数根得△=（b+1）²=0，得b=-1，a=-

1

2

；
所以 函数f（x）的解析式为：f（x）=-

1

2

x2+x；
（2）由（1）得，f（x）的对称轴为x=1，
所以f（x）在[0，1]上递增，在[1，3]递减，
所以f（x）在[0，3]上的最大值为f（1）=0.5．

点评：本题考查了二次函数的系数求法以及闭区间上的最值求法；明确二次函数的对称轴与区间的位置关系是求二次函数闭区间上最值的关键．