Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0），若存在动点Q，满足|

F1Q

|=2a，且△F₁QF₂的面积等于b²，则椭圆离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定Q的轨迹方程，利用存在点Q，使得△F₁QF₂的面积等于b²，确定Q的纵坐标，即可求椭圆离心率的取值范围．

解答： 解：设Q（x，y），则
∵|

F1Q

|=2a，∴（x+c）²+y²=4a²
∴|y|≤2a
∵存在点Q，使得△F₁QF₂的面积等于b²，
∴

1

2

•2c•|y|=b²，
∴|y|=

b2

c

∴

b2

c

≤2a，∴a²-c²≤2ac，
∴e²+2e-1≥0
∴e≥

2

-1，或e≤-

2

-1，
∵0＜e＜1
∴

2

-1＜e＜1．
故答案为：（

2

-1，1）．

点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．