Question

函数F（x）在[a，b]上有定义，若对于任意x₁、x₂在定义域内有F（

x1+x2

2

）≤0.5[F（x₁）+F（x₂）]，则称F（x）在[a，b]有性质P．设F（x）在[1，3]上具有性质P，现给出一下命题：
A．F（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
B．F（x²）在[1，

3

]上有性质P；
C．若F（x）在x=2时取得最大值1，则F（x）=1，x∈[1，3]；
D．对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有F（

x1+x2+x3+x4

4

）≤0.25[F（x₁）+F（x₂）+F（x₃）+F（x₄）]．
其中，真命题有

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：对于A，可举反例，比如分段函数，加以判断；对于B，同样举反例，比如一次函数，加以判断；对于C，可令2=

x+(4-x)

2

，应用性质P，根据F（x）在x=2时取得最大值1，列出不等式组，运用两边夹法则，可判断结论；对于D，可令

x1+x2+x3+x4

4

=

x1+x2 2 + x3+x4 2

2

，反复运用性质P，即可判断结论是否成立．

解答： 解：对于A，举反例：F（x）=

( 1 2 )x，1≤x＜3 2，x=3

在[1，3]上满足性质P，但F（x）在[1，3]上图象不是连续不断的，故A不正确；
对于B，举反例：F（x）=-x，F（x）在[1，3]上满足性质P，但F（x²）=-x²在[1，

3

]上不满足性质P，故B不正确；
对于C，在[1，3]上，F（2）=F[

x+(4-x)

2

]≤

1

2

[F（x）+F（4-x）]，
∵F（x）在x=2时取得最大值1，
∴

F(x)+F(4-x)≥2 F(x)≤F(x)max=F(2)=1 F(4-x)≤F(x)max=F(2)=1

，
∴F（x）=1，即对任意的x∈[1，3]，有F（x）=1．
故C正确；
对于D，对任意的x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有
F（

x1+x2+x3+x4

4

）=F（

x1+x2 2 + x3+x4 2

2

）≤

1

2

[F(

x1+x2

2

)+F(

x3+x4

2

)]
≤

1

2

[

1

2

（（F（x₁）+F（x₂））+

1

2

（F（x₃）+F（x₄））]=

1

4

[F（x₁）+F（x₂）+F（x₃）+F（x₄）]，
即F（

x1+x2+x3+x4

4

）≤

1

4

[F（x₁）+F（x₂）+F（x₃）+F（x₄）]．
故D正确．
故答案为：CD．

点评：本题是一道新定义题，实质上是考查函数的凹凸性及应用，解题的关键是理解这一性质，灵活运用这一性质，可通过举反例，以及反复运用条件通过推理得到新结论，同时考查两边夹法则的运用，是一道难题．