Question

已知抛物线C的方程为y=

1

2p

x2，焦点F（0，1）．直线y=2与抛物线C交于M，N两点A，B在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为定值；
（3）若直线AB的斜率为

2

，且点N到直线MA，MB的距离的和为8，试判断△MAB的形状，并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由抛物线C的方程为y=

1

2p

x2，焦点F（0，1），求出p，即可得到抛物线C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AM的斜率为k，由∠BMN=∠AMN，知直线BM的斜率为-k，所以直线AM的方程为y=k（x+2

2

）-2，由此能够证明直线AB的斜率为定值．
（3）若直线AB的斜率为

2

，由（2）可得：k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

2

，知k_AM+k_BM=0，∠BMN=∠AMN，由点N到直线MA，MB的距离的和为8，知点N到直线MA，MB的距离均为4，由此能得到△MAB是直角三角形．

解答： （1）解：∵抛物线C的方程为y=

1

2p

x2，焦点F（0，1），
∴p=1，
∴抛物线C的方程为x²=4y；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AM的斜率为k，
∵∠BMN=∠AMN，∴直线BM的斜率为-k，
∵直线y=2交抛物线于M，N两点，
∴M（-2

2

，2），N（2

2

，2），
∴直线AM的方程为y=k（x+2

2

）-2，
代入x²=4y得x²-4kx-8

2

k-8=0，
∴x_Mx₁=-8

2

k-8，
∴x₁=4k+2

2

，
同理x₂=-4k+2

2

，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

2

．
（3）解：若直线AB的斜率为

2

，由（2）可得：k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

2

，
∴k_AM+k_BM=0，
∴∠BMN=∠AMN，
又点N到直线MA，MB的距离的和为8，
∴点N到直线MA，MB的距离均为4，
∵MN=4

2

，
∴∠BMN=∠AMN=45°，
∴△MAB是直角三角形．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线和抛物线的综合运用，解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用，合理地进行等价转化．