Question

[x]表示不超过x的最大整数，已知f（x）=

[x]

x

-a，当x＞0时，f（x）=

[x]

x

-a有且仅有三个零点，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）=0得

[x]

x

=a，令g（x）=

[x]

x

，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围．

解答： 解：由f（x）=

[x]

x

-a=0得

[x]

x

=a，
设g（x）=

[x]

x

，
则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，
当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=

1

x

，此时

1

2

＜g(x)≤1，
当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=

2

x

，此时

2

3

＜g（x）≤1，
当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=

3

x

，此时

3

4

＜g（x）≤1，
当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=

4

x

，此时

4

5

＜g（x）≤1，
作出函数g（x）的图象，
要使f（x）=

[x]

x

-a有且仅有三个零点，
即函数g（x）=a有且仅有三个零点，
则由图象可知

3

4

＜a≤

4

5

，
故答案为：（

3

4

，

4

5

]

点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．