Question

已知离心率为

3

2

的椭圆C，其长轴的端点A₁，A₂恰好是双曲线

x2

3

-y²=1的左右焦点，点P是椭圆C上不同于A₁，A₂的任意一点，设直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试判断乘积“k₁•k₂”的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
（3）当k₁=

1

2

，在椭圆C上求点Q，使该点到直线PA₂的距离最大．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先利用椭圆C₁的顶点A₁，A₂恰好是双曲线

x2

3

-y²=1的左右焦点求出顶点A₁，A₂的坐标，再利用离心率为

3

2

，即可求椭圆C₁的标准方程；
（2）直接利用两点坐标求出k₁•k₂的值即可判断k₁•k₂的值是否与点P的位置有关；
（3）求出与PA₂平行的椭圆C的切线方程为x+2y+m=0，与椭圆C联立，利用△=0，即可得出结论．

解答： 解：（1）双曲线

x2

3

-y²=1的左右焦点为（±2，0），即A₁，A₂的坐标分别为（-2，0），（2，0）．
∴设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则a=2，
∵离心率为

3

2

，
∴c=

3

，从而b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设P（x₀，y₀）则

x02

4

+y02=1，即y02=

4-x02

4

∴k₁•k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

=-

1

4

，
∴k₁•k₂的值与点P的位置无关，恒为-

1

4

；
（3）由（2）知当k₁=

1

2

时，k₂=-

1

2

，故直线PA₂的方程为y=-

1

2

（x-2），即x+2y-2=0，
设与PA₂平行的椭圆C的切线方程为x+2y+m=0，
与椭圆C联立得

x2 4 +y2=1 x+2y+m=0

消去x得8y²+4my+m²-4=0…（*）
由△=（4m）²-4•8•（m²-4）=0，解得m=2

2

或m=-2

2

（舍去），
代入（*）可解得切点坐标(-

2

，-

2

2

)即为所求的点Q．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线上两点的斜率公式、考查学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．