Question

如图，已知抛物线C：y²=4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点
（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y=1上，求直线l的方程；
（Ⅱ）若线段|AB|=20，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题设先求出F（1，0），设出斜率k，及A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于本题知道了中点的坐标，故可将两点坐标代入用点差法建立k的方程求它的值．
（Ⅱ）先设出直线l的方程为x=my+1，与抛物线方程联立，利用弦长公式用参数m表示出弦长，再利用|AB|=20即可得出参数m的方程，解出它的值即可得出直线的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得交点坐标为F（1，0），…（1分）
设直线l的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x₀，y₀）
则

x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2

，

y12=4x1 y22=4x2

⇒(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)，
所以2y₀k=4，又y₀=1，所以k=2…（5分）
故直线l的方程是：y=2x-2…（6分）
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，…（7分）
与抛物线方程联立得

x=my+1 y2=4x

，
消元得y²-4my-4=0，…（8分）
所以有y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，△=16（m²+1）＞0

|AB|= m2+1 |y1-y2| = m2+1 (y1+y2)2-4y1y2 = m2+1 (4m)2-4×(-4) =4(m2+1)

…（10分）
所以有4（m²+1）=20，解得m=±2，…（12分）
所以直线l的方程是：x=±2y+1，即x±2y-1=0…（13分）

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题考查了点差法求斜率的技巧，弦长公式，属于此类题中的常规题，本类题规律固定，都可用本题这样的方式求解