Question

已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为D（2，-1），求直线l的一般式方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，由题意知

(x-1)2+y2

-x=1(x＞0)，由此能求出曲线C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法能求出l的一般式方程．

解答： 解：（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，
那么点P（x，y）满足：

(x-1)2+y2

-x=1(x＞0)，
化简得y²=4x（x＞0）．
∴曲线C的方程是y²=4x（x＞0）．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y12=4x1…① y22=4x2…②

，
①-②得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
由题意知l的斜率k存在，
∵线段AB的中点为D（2，-1），∴-2（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-2，∴l的方程为y+1=-2（x-2），
∴l的一般式方程为l：2x+y-3=0．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．