题目内容
给出下列命题：
①若A，B是锐角△ABC的两内角，则有sinA＞cosB；
②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为2个；
③如果
=-5，那么tan α的值为-
；
④存在实数x，使得等式sinx+cosx=
成立；
⑤若0＜x≤1，则
＜
其中正确的命题为 （写出所有正确命题的序号）．
①若A，B是锐角△ABC的两内角，则有sinA＞cosB；
②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为2个；
③如果
| sinα-2cosα |
| 3sinα+5cosα |
| 23 |
| 16 |
④存在实数x，使得等式sinx+cosx=
| 3 |
| 2 |
⑤若0＜x≤1，则
| sin2x |
| x2 |
| sinx |
| x |
其中正确的命题为
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：对于①，利用三角函数的单调性与诱导公式判断①的正误．对于②，利用函数图象，求解；对于③，已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．对于④，利用sinx+cosx=
sin(x+
)，对于⑤：则利用sinx＜x＜tanx，进行求解判断即可．
| 2 |
| π |
| 4 |
解答：
解：对于①：
A、B、C为锐角△ABC的三个内角，
∵A+B＞
，∴A＞
-B，
∴sinA＞sin（
-B），
即sinA＞cosB．∴①正确；
对于②：
画出函数y=sinx和y=lgx的图象，
结合图象易知这两个函数的图象有3交点．
所以②错误；
对于③：
由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，
=-5，
∴tanα=--
．
∴③正确；
对于④：
sinx+cosx=
sin(x+
)≤
，
∵
＞
，
∴④错误：
对于⑤：
∵当x为锐角时，则有
sinx＜x＜tanx，
∴0＜
＜1，
∴
＜
，
故⑤正确；
故答案为①③⑤
A、B、C为锐角△ABC的三个内角，
∵A+B＞
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴sinA＞sin（
| π |
| 2 |
即sinA＞cosB．∴①正确；
对于②：
画出函数y=sinx和y=lgx的图象，
结合图象易知这两个函数的图象有3交点．
所以②错误；
对于③：
由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，
| tanα-2 |
| 3tanα+5 |
∴tanα=--
| 23 |
| 16 |
∴③正确；
对于④：
sinx+cosx=
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
∵
| 3 |
| 2 |
| 2 |
∴④错误：
对于⑤：
∵当x为锐角时，则有
sinx＜x＜tanx，
∴0＜
| sinx |
| x |
∴
| sin2x |
| x2 |
| sinx |
| x |
故⑤正确；
故答案为①③⑤
点评：本题综合考查命题的真假判断，注意区分数形结合思想的灵活运用，属于中档题．
练习册系列答案
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在椭圆“a=-7”是“直线（3+a）x+4y=5-3a与直线2x+（5+a）y=8互相平行”的（ ）
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