Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

2

，且过点(2，

2

)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F₁作直线l₁与椭圆交于M，N两点，过点F₂作直线l₂与椭圆交于P，Q两点，且直线l₁，l₂互相垂直，试问

1

|MN|

+

1

|PQ|

是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出其取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的离心率为

2

2

，且过点(2，

2

)，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）分类讨论，设出直线l₁，l₂的方程，代入椭圆方程，利用弦长公式，求出|MN|=

4 2 (1+k2)

1+2k2

，|PQ|=

4 2 (1+k2)

2+k2

，代入

1

|MN|

+

1

|PQ|

，化简，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵椭圆的离心率为

2

2

，且过点(2，

2

)，
∴

a2-b2 a = 2 2 4 a2 + 2 b2 =1

，
∴a=2

2

，b=2，
∴椭圆C的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1-----------------（3分）
（2）设l₁：y=k（x+2），则l2：y=-

1

k

(x-2)
由

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

，消去y得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-8=0
所以|MN|=

4 2 (1+k2)

1+2k2

同理|PQ|=

4 2 (1+k2)

2+k2

所以，

1

|MN|

+

1

|PQ|

=

1+2k2

4 2 (1+k2)

+

2+k2

4 2 (1+k2)

=

3(1+k2)

4 2 (1+k2)

=

3 2

8

-----------------（8分）
当l₁斜率不存在时，|MN|=4

2

，|PQ|=2

2

，符合

1

|MN|

+

1

|PQ|

=

3 2

8

当l₂斜率不存在时，|MN|=2

2

，|PQ|=4

2

，符合

1

|MN|

+

1

|PQ|

=

3 2

8

综上，

1

|MN|

+

1

|PQ|

=

3 2

8

-----------------（10分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．