Question

已知O为坐标原点，F是抛物线E：y²=4x的焦点．
（Ⅰ）过F作直线l交抛物线E于P，Q两点，求

OP

•

OQ

的值；
（Ⅱ）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设直线l的方程为l：x=ty+1，由

x=ty+1 y2=4x

，得y²-4ty-4=0，由此利用韦达定理和向量的数量积公式能求出

OP

•

OQ

的值．
（Ⅱ）设AB：x=my+t，CD：x=-

1

m

y+t，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），分别令直线AB，CD与抛物线E联立方程组，求出M点和N点坐标，从而求出|TM|和|TN|，由此利用均值定理能求出△TMN的面积最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设直线l的方程为l：x=ty+1，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

x=ty+1 y2=4x

，消去x，并整理，得y²-4ty-4=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，
∴x₁x₂=（ty₁+1）（ty₂+1）=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1=1
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=-3．（4分）
（Ⅱ）根据题意得AB，CD斜率存在
设AB：x=my+t，CD：x=-

1

m

y+t，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由

x=my+t y2=4x

⇒y2-4my-4t=0，
∴

y1+y2

2

=2m⇒

x1+x2

2

=2m2+t⇒M(2m2+t，2m)
同理可得N(

2

m2

+t，-

2

m

)
∴|TN|=

4 m4 + 4 m2

=

2

|m|2

m2+1

，
|TM|=

4m4+4m2

=2|m|

m2+1

∴S△TMN=

1

2

|TM||TN|=2(|m|+

1

|m|

)≥4，
当且仅当|m|=1时，面积取到最小值4．（12分）

点评：本题考查向量数量积的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．