Question

已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）试确定f（x）的解析式；
（2）若不等式（

1

a

）^x+（

1

b

）^x≥m在x∈（-∞，1]时恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将两个点的坐标代入解析式，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值；
（2）转化为m≤[（

1

a

）^x+（

1

b

）^x]_min，然后再研究该函数的单调性求其最小值即可．

解答： 解：（1）将点A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a^x，
得

6=b•a 24=b•a3

，结合a＞0且a≠1得b=3，a=2，
∴f（x）=3•2^x．
（2）不等式 （

1

2

）^x+（

1

3

）^x≥m在x∈（-∞，1]时恒成立，
只需m≤[（

1

2

）^x+（

1

3

）^x]_min即可，
易知函数y=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在x∈（-∞，1]上是减函数，
∴m≤[（

1

2

）^x+（

1

3

）^x]_min=

1

2

+

1

3

=

5

6

．
故实数m的最大值为

5

6

．

点评：本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题来解，其中在研究函数的性质时，用到了指数函数的单调性，因此要重视对基础知识的学习和巩固．