Question

4．若函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$．
（1）求$\frac{f（2）}{f（\frac{1}{2}）}$的值．
（2）求f（3）+f（4）+…+f（2015）+f（2016）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）+…+f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{1}{2016}$）的值．

Answer 1

分析 （1）化简f（x），从而代入2及$\frac{1}{2}$，求出函数值即可；（2）化简可得（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，从而求得．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$=1-$\frac{2}{{x}^{2}+1}$，
∴$\frac{f（2）}{f（\frac{1}{2}）}$=$\frac{1-\frac{2}{{2}^{2}+1}}{1-\frac{2}{{（\frac{1}{2}）}^{2}+1}}$=-1；
（2）∵f（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}+1}$得，
f（$\frac{1}{x}$）=1-$\frac{2}{{（\frac{1}{x}）}^{2}+1}$=1-$\frac{{2x}^{2}}{1{+x}^{2}}$，
∴两式两边分别相加得，f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，
∴f（3）+f（4）+…+f（2 016）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）=0×2014=0．

点评 本题考查了函数的性质的判断及转化思想的应用．