Question

5．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=8cosθ+10sinθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程及参数方程；
（2）若点P（x，y）为曲线C上任意一点，求证：x+y的最大值大于18．

Answer 1

分析 （1）根据ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出曲线的直角坐标方程以及参数方程即可；
（2）根据曲线C的参数方程表示出x+y，结合三角函数的性质求出x+y的最大值，从而证明结论．

解答 解：（1）由ρ=8cosθ+10sinθ，得ρ²=8ρcosθ+10ρsinθ，
∴x²+y²=8x+10y，即（x-4）²+（y-5）²=41，
此即为曲线C的直角坐标方程，
∴曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\sqrt{41}cosα}\\{y=5+\sqrt{41}sinα}\end{array}\right.$（α是参数）；
（2）由曲线C的参数方程得：
x+y=4+$\sqrt{41}$cosα+5+$\sqrt{41}$sinα
=9+$\sqrt{41}$（sinα+cosα）=9+$\sqrt{41}$•$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
当sin（α+$\frac{π}{4}$）=1时，x+y取最大值，且最大值是9+$\sqrt{41}$•$\sqrt{2}$=9+$\sqrt{82}$＞9+$\sqrt{81}$=18，
故x+y的最大值大于18．

点评 本题考查了极坐标，直角坐标的转化，考查参数方程以及三角函数的性质，是一道中档题．