Question

16．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（${\frac{1}{2017}}$）+f（${\frac{2}{2017}}$）+f（${\frac{3}{2017}}$）+…+f（${\frac{4033}{2017}}$）的值为4033．

Answer 1

分析 根据题意，求出f（2-x）的解析式，分析可得f（x）+f（2-x）=2，将f（${\frac{1}{2017}}$）+f（${\frac{2}{2017}}$）+f（${\frac{3}{2017}}$）+…+f（${\frac{4033}{2017}}$）变形可得[f（${\frac{1}{2017}}$）+f（${\frac{4033}{2017}}$）]+[f（${\frac{2}{2017}}$）+f（${\frac{4032}{2017}}$）]+…[f（${\frac{2016}{2017}}$）+f（${\frac{2018}{2017}}$）]+f（1），计算可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）=x+sinπx，f（2-x）=（2-x）+sin[π（2-x）]=（2-x）-sinx，
则有f（x）+f（2-x）=2，
f（${\frac{1}{2017}}$）+f（${\frac{2}{2017}}$）+f（${\frac{3}{2017}}$）+…+f（${\frac{4033}{2017}}$）=[f（${\frac{1}{2017}}$）+f（${\frac{4033}{2017}}$）]+[f（${\frac{2}{2017}}$）+f（${\frac{4032}{2017}}$）]+…[f（${\frac{2016}{2017}}$）+f（${\frac{2018}{2017}}$）]+f（1）=4033；
故答案为：4033．

点评 本题考查了利用函数的对称性求函数值的应用问题，关键是依据函数的解析式确定函数的对称中心．