Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），向量$\overrightarrow{b}$=（1，-$\sqrt{3}$），则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最大值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求得|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow{b}$|，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosθ-$\sqrt{3}$sinθ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），再由向量的平方即为模的平方，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），向量$\overrightarrow{b}$=（1，-$\sqrt{3}$），
可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{1+3}$=2，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosθ-$\sqrt{3}$sinθ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），
可得|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{5-4cos（θ+\frac{π}{3}）}$，
当cos（θ+$\frac{π}{3}$）=-1，即θ=2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z时，取得最大值为3，
故选：C．

点评 本题考查向量的模和数量积的坐标表示，向量的平方即为模的平方，考查三角函数的辅助角公式和余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．