Question

10．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O（0，0），D（0，2），线段OD的中点为椭圆C的一个顶点，郭点D且斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点．
（1）设线段AB的中点为G，求直线OG的斜率与k的乘积；
（2）若OA⊥OB，且A、B在x轴上的射影分别为A′、B′，求|AA′|•|BB′|．

Answer 1

分析 （1）利用已知得到椭圆C的标准方程；设直线l的方程为：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₀，y₀）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+8kx+6=0．利用韦达定理可得G的坐标，k_OG=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=-\frac{1}{2k}$，
即可求得直线OG的斜率与k的乘积．
（2）由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，可得k²=5，
即|AA′|•|BB′|=|y₁|•|y₂|=|=|x₁x₂|=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}=\frac{6}{11}$．

解答 解：（1）依题意可得b=1，又∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²+b²=c²，可得c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
设直线l的方程为：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₀，y₀）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+8kx+6=0．
x₁+x₂=$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$；   y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$
k_OG=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=-\frac{1}{2k}$，∴直线OG的斜率与k的乘积为-$\frac{1}{2k}$×k=-$\frac{1}{2}$．
（2）∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
$\frac{6（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$+2k•$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$+4=0，可得k²=5，
∵A、B在x轴上的射影分别为A′、B′，
∴|AA′|•|BB′|=|y₁|•|y₂|=|=|x₁x₂|=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}=\frac{6}{11}$．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．