Question

13．若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若|AF|=3，|BF|=1，则AC的长度为（　　）

• A． $\sqrt{19}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． $\frac{3}{2}$$\sqrt{7}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用已知条件求出A，C坐标，然后求解AC的长度．

解答 解：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），其准线与x轴的交点为C（-$\frac{p}{2}$，0），
过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若|AF|=3，|BF|=1，可得AB的斜率为：$\sqrt{3}$，
则A（$\frac{p}{2}+\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），可得$\frac{27}{4}=2p（\frac{p}{2}+\frac{3}{2}）$，解得p=$\frac{3}{2}$．
A（$\frac{9}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），C（-$\frac{3}{4}$，0）．
AC=$\sqrt{（\frac{9}{4}+\frac{3}{4}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．
则AC的长度为：$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．