Question

（1）已知a，b是两个正实数，证明：

a+b

2

≥

ab

，并指出等号成立的条件．
（2）设a是正实数，利用（1）的结论求复数z=

3a

+（

1

a

-

a

）i模的最小值．

Answer 1

考点：不等式的证明,复数代数形式的乘除运算

专题：计算题,不等式的解法及应用,数系的扩充和复数

分析：（1）运用分析法证明，注意解题步骤，指出等号成立的条件；
（2）由复数模的公式求出模，再由基本不等式求出最小值，指出等号成立的条件．

解答： （1）证明：要证

a+b

2

≥

ab

，由题设，因a+b＞0，

ab

＞0，
只需证（a+b）²≥4ab，
只要证a²-2ab+b²≥0，
只要证（a-b）²≥0此式成立．
故原不等式成立．
当且仅当a=b时等号成立．
（2）解：|z|=

( 3a )2+( 1 a - a )2

=

4a+ 1 a -2

≥

2( 4a• 1 a )-2

=

2

，
当4a=

1

a

⇒a=

1

2

（负舍）时，
|z|的最小值是

2

．

点评：本题考查基本不等式的证明及运用：求最值，注意等号成立的条件，同时考查复数的模的计算，属于基础题．