Question

（理科）已知圆C：x²+y²=1和点Q（2，0），动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

Answer 1

考点：曲线与方程

专题：综合题,直线与圆

分析：设点M的坐标为（x，y），欲求动点M的轨迹方程，即寻找x，y间的关系式，结合题中条件列式化简即可得；最后对参数λ分类讨论看方程表示什么曲线即可．

解答： 解：如图，设MN切圆于N，则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常数λ＞0．因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1．
设点M的坐标为（x，y），则

x2+y2-1

=λ

(x-2)2+y2

整理得（λ²-1）（x²+y²）-4λ²x+（1+4λ²）=0．
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P．故这个方程为所求的轨迹方程．
当λ=1时，方程化为x=

5

4

，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点（

5

4

，0），
当λ≠1时，方程化为（x-

2λ2

λ2-1

）²+y²=

1+3λ2

(λ2-1)2

它表示圆，该圆圆心的坐标为（

2λ2

λ2-1

，0），半径为

1+3λ2

|λ2-1|

．

点评：本小题考查曲线与方程的关系，轨迹的概念，考查直线与圆的位置关系．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．