Question

设函数f（x）=

x

x2-1

．
（1）求f[f（

1

2

）]；
（2）判断并证明f（x）在（-1，1）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）先求出f（

1

2

），同理即可求出f[f（

1

2

）]的值．
（2）根据单调性的定义设-1＜a＜b＜1 只要证明f（a）＞f（b），则 函数f（x）在区间（-1，1）上单调递减．

解答： （1）已知函数f（x）=

x

x2-1

．
可计算f（

1

2

）=-

2

3

．
所以f[f（

1

2

）]=f（-

2

3

）=

6

5

．
（2）设-1＜a＜b＜1，
f（a）-f（b）=

a

a2-1

-

b

b2-1

=

ab2-a-ba2+b

(a2-1)(b2-1)

=

(b-a)(ab+1)

(a2-1)(b2-1)

，
∵-1＜x＜1∴ab+1＞0，a²-1＜0，b²-1＜0
∴（ab+1）（b-a）＞0 （a²-1）（b²-1）＞0
∴f（a）＞f（b）∵a＜b
∴函数f （x）在区间（-1，1）上单调递减．

点评：本题考查函数的单调性及函数求值，属于基础题．