Question

已知函数f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x），其中a＞0，且a≠1．
（1）判断f（x）+g（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）-g（x）的单调性，并证明；
（3）设命题p：f（x）-g（x）为减函数，命题q：x²+ax+2＜0有解．若p或q为真，p且q为假，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,简易逻辑

分析：（1）根据奇偶性的定义即可判断函数f（x）+g（x）的奇偶性；
（2）令G（x）=f（x）-g（x），求G′（x），讨论a的取值，判断G′（x）的符号，从而判断函数G（x）的单调性，即判断f（x）-g（x）的单调性；
（3）分别求出命题p，q下的a的取值，根据p或q为真，p且q为假，得到p真q假，或p假q真，分别求出这两种情况下的a的取值，再求并集即可．

解答： 解：（1）令F（x）=f（x）+g（x），根据已知条件知，F（x）的定义域为（-1，1），F（x）=loga(1-x2)；
∴F（-x）=F（x），∴F（x）为偶函数，即f（x）+g（x）为偶函数；
（2）令G（x）=f（x）-g（x）=loga

1-x

1+x

，该函数定义域为（-1，1）；
∴G′(x)=

2

(x2-1)lna

，
∵x∈（-1，1），∴x²-1＜0；
∴若0＜a＜1，lna＜0，
∴G′（x）＞0，∴此时f（x）-g（x）在（-1，1）上单调递增；
若a＞1，lna＞0，G′（x）＜0，
∴此时f（x）-g（x）在（-1，1）上单调递减；
（3）若f（x）-g（x）为减函数，由（2）知，a＞1；
x²+ax+2＜0有解，则△=a²-8＞0，
∵a＞0，且a≠1，∴解得a＞2

2

；
∵p或q为真，p且q为假，∴p，q中一真一假；
若p真q假：则a＞1，且a≤2

2

，∴1＜a≤2

2

；
若p假q真：则a≤1，且a＞2

2

，∴a∈∅；
∴a的取值范围为(1，2

2

]．

点评：考查奇偶性的定义，及判断奇偶性的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，p或q，p且q的真假情况，一元二次不等式的解与判别式△的关系．