Question

已知曲线C的极坐标方程是p=2sinθ，直线l的参数方程是

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

（t为参数），设直线与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，
（1）求曲线C与直线的普通方程；
（2）求|MN|的最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：直线与圆,坐标系和参数方程

分析：本题（1）利用极坐标与直角坐标的关系将极坐标方程化成直角坐标方程，利用消参法消去参数t，得到直线l的普通方程；（2）利用点M到圆心的距离求定点到圆上动点距离的最大值．

解答： 解：（1）∵曲线C的极坐标方程是p=2sinθ，
∴ρ²=2ρsinθ．
∵

ρ2=x2+y2 ρsinθ=y

，
∴x²+y²=2y，即x²+y²-2y=0．
∵直线l的参数方程是

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

（t为参数），
∴消去参数t得到：4x+3y-8=0．
∴曲线C与直线l的普通方程分别为：x²+y²-2y=0，4x+3y-8=0．
（2）∵直线l的普通方程为：4x+3y-8=0，直线与x轴的交点是M，
∴令y=0，则x=2，即M（2，0）．
∵曲线C的普通方程分别为：x²+y²-2y=0，
∴曲线C的圆心为C（0，1），半径r=1．
∴|MC|=

5

，
∵N是曲线C上一动点，
∴|MN|≤|MC|+r=

5

+1．
即|MN|的最大值为

5

+1．

点评：本题考查的是极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的关系，还考查了几何法研究定点与圆上动点的距离最大值，有一定的思维量，属于中档题．