Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有  f（x+1）=

1

f(x)

；
②函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称；
③对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）．
则f（

3

2

），f（2），f（3）从小到大排列是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：对任意的x∈R都有f（x+1）=

1

f(x)

得到函数是一个周期函数T=2，根据f（x+1）的图象关于y轴对称，得到f（x）的图象关于x=1对称．对于任意的0≤x₁＜x₂≤1，都有f（x₁）＞f（x₂），得到函数在[0，1]上是一个递减函数，问题得以解决．

解答： 解：∵f（x+2）=

1

f(x+1)

=f（x），故函数为周期为2的周期函数，
∵f（x+1）的图象关于y轴对称，
∴f（x）的图象关于x=1对称，
∵对于任意的0≤x₁＜x₂≤1，都有f（x₁）＞f（x₂）
∴函数在[0，1]上是一个递减函数，
∴函数在[-1，0]上是一个递增函数，
∵f（

3

2

）=f（2-0.5）=f（-0.5），f（2）=f（2+0）=f（0），f（3）=f（4-1）=f（-1）
∴f（3）＜f（

3

2

）＜f（2）
故答案为：f（3）＜f（

3

2

）＜f（2）

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性，体现了转化的数学思想，属于基础题